캔음료가 원기둥 모양인 이유

[생활 속 수학이야기](3)캔음료가 원기둥 모양인 이유

[경향신문]

슈퍼의 음료수 진열장이나 음료수 자판기를 한번 들여다보라. 캔 음료수나 캔 맥주가 원기둥의 모양을 하고 있는 것을 확인할 수 있다. 사각기둥이나 삼각기둥 모양 또는 특이하게 만들기 위해 육각기둥의 모양 등 여러 가지 형태로 만들 수도 있을 것 같은데 하나같이 원기둥의 모양으로만 만들었을까 하는 의문을 가져 본 적이 있는가?   캔 음료의 밑면의 모양이 원인 이유를 한 번 생각해 보도록 하자. 둘레의 길이가 같을 때 어떤 도형의 넓이가 가장 클 것인가? 원과 정사각형, 정삼각형의 넓이를 구해보자. (원의 넓이):(정사각형의 넓이):(정삼각형의 넓이)=4:π:π≒4:3.14:2.42 그러므로, 둘레의 길이가 같을 때 원의 넓이가 가장 크다는 것을 확인할 수 있다. 이제 음료수 캔의 높이가 같으면 원기둥의 부피가 사각기둥이나 삼각기둥의 부피보다 더 크다는 사실도 알 수 있을 것이다. 이것은 원기둥이 음료수를 많이 담을 수 있으면서도 동시에 캔을 만들 때 재료가 적게 사용된다는 것을 의미한다.   사실 우리 주변의 모든 음료 제품들은 그 안에 들어가는 액체를 생산하기 위해 들어가는 비용보다도 그 용기를 제작하는 데에 약 3배 정도의 비용이 든다고 한다. 그리고 나머지는 성형동력이나 유통과정에서 붙는 비용일 것이다. 따라서 회사의 입장에서 보면 적은 재료를 이용해서 용기를 만들 수 있다면 이보다 이윤을 많이 남기는 방법은 없을 것이다.   그렇다면 과연 원기둥의 모양이 재료비를 가장 적게 들이는 가장 좋은 용기인지 다시 한 번 의심해 보지 않을 수 없다. 구의 겉넓이는 4πr2이고 구의 부피는 4/3 πr3이므로 원기둥보다 그 효율성 면에서는 더욱 월등하다고 할 수 있다. 그러나 생각해 보라. 캔 음료 용기가 구 모양이라고 하면 보관이 어렵게 되고 보관이 어려우면 유통과정에서의 비용도 그리 만만치 않게 되므로 여러모로 불편하게 될 것이다. 게다가 직육면체로 되어 있는 적재함을 고려하여 직육면체의 캔을 만든다면 8개의 꼭지점과 12개의 모서리가 생겨 유통과정에서 꼭지점과 모서리가 쉽게 상함으로 상품가치를 떨어뜨리게 될 것이다. 그러므로 유통이 용이하며 모서리를 최소화할 수 있는 모양으로 원기둥의 캔이 가장 적격인 것이다.   이렇게 유익한 원기둥 모양의 캔. 그 안에는 더욱더 재미있는 수학적이고 과학적인 원리들이 많이 숨어있다. 캔의 밑바닥을 한 번 보자. 바로 아치형을 이루고 있다. 참치 통조림의 경우는 밑바닥이 평평하다. 왜 이 두 가지의 캔은 밑면이 서로 다른 것일까? 바로 기체가 포함되는가의 문제와 관련되어 있다. 특히 탄산음료의 경우 이산화탄소라는 기체의 팽창으로 인한 폭발을 막기 위해 반드시 아치형으로 만들어야 한다. 또한 그 기체의 온도에 따른 운동을 살펴보자. 우유팩의 경우는 사각기둥의 모양으로 되어있다.   우유가 부패했을 경우 가스가 생기게 되므로 우유팩의 모양이 불룩하게 튀어나오는 것을 볼 수 있다. 우유가 상했는지 상하지 않았는지를 마시지 않고 확인하는 방법이다. 우유가 유통기한이 짧은데 비해 탄산음료의 경우는 유통기한이 길다. 이것은 그 안의 재료가 쉽게 부패하지 않기 때문에 온도에 따른 기체운동에 의해 보관용기의 모양이 변하지 않아도 상관없으며 모양이 변하지 않는 것이 더 상품 가치가 높게 된다. 그래서 부풀어 오르는 현상을 막기 위해서 내부팽창 압력을 골고루 받을 수 있는 원통형을 사용해야 한다는 결론이 나온다.   그래서 그랬는지 몰라도, 고대 그리스 사람들은 원을 모든 모양의 원천이라고 하고 원을 통하여 정삼각형과 정사각형 등 많은 도형을 작도했다고 한다. 원을 숫자로 표현하자면 1을 의미한다고 한다.우리가 당연하게 받아들이고 있는 생활 주변에는 이렇듯 유익한 수학이 숨어있다는 것을 다시 한 번 발견하게 된다. 〈 김정하 교사 | 수학과 문화 연구소 〉